Скачать: gau_labs-word.zip [339,91 Kb] (cкачиваний: 1)  

Журнал лабораторных работ

по дисциплине: «Теория автоматического управления»

Вариант - 5

Лабораторная работа № 1

«Качество процессов управления»

Цель работы:

Oзнакомление с показателями качества процессов, протекающих в автоматических системах.

Исходные данные:

В лабораторной работе исследуется автоматическая система, структурная схема которой имеет вид:

Вариант 5:

1.Получение графика переходной функции h(t) путем моделирования уравнения замкнутой системы

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Тогда передаточная функция замкнутой системы:

где

Переходная функция находится по формуле:

где - обратное преобразование Лапласа, х – входной сигнал. Для моделирования будем использовать программу MathCAD 15. Получим график переходной функции, воспользовавшись функцией invlaplace, выполняющую обратное преобразование Лапласа:

Рисунок 1 - График переходного процесса

2.Показатели качества переходного процесса по полученному графику

Прямые оценки качества переходного процесса

1. - установившееся значение выхода, определяющее статическую точность системы:

2. – время переходного процесса, определяющее быстродействие системы. Оно определяется из соотношения

где Δ - заданная малая величина, характеризующая точность системы.

Δ предварительно задается в процентах от установившегося значения , где нет определенных требований – принимают

Рисунок 2 – К определению времени переходного процесса

3. – перерегулирование– максимальное отклонение от установившегося значения, выраженное в относительных единицах или процентах:

4. – частота колебаний

где – период колебаний.

Рисунок 3 – К определению максимумов и перерегулирования

5. – число полных колебаний, которое имеет время регулирования . Этот параметр определяется как число выбросов, для которых

6. – время достижения первого максимума.

7. – время нарастания переходного процесса; время от начала переходного процесса до момента первого пересечения графиком линии установившегося значения

8. – декремент затухания, равный отношению модулей двух смежных перерегулирований

3.Интегральные оценки качества системы

a. Линейная интегральная оценка J₁ :

b.Квадратичная интегральная оценка J₂ :

4.Получение кривой ошибки ε(t) путем моделирования уравнения ошибки системы

Уравнение ошибки системы определяется формулой:

Построим график этой функции в среде программы MathCAD 15:

Рисунок 4 – Кривая ошибки

5. Исследование поведения кривой в типовых режимах

Построение и расчеты проведем в программе MathCAD15

5.1На вход подается единичный ступенчатый сигнал

Рисунок 5 – Переходная кривая, если на вход подается единичный ступенчатый сигнал

5.2На вход подается гармонический сигнал вида ,

5.3На вход подается линейное воздействие

Рисунок 6 – Переходная кривая, если на вход подается гармонический сигнал вида , (b=3)

Рисунок 7 – Переходная кривая, если на вход подается линейное воздействие , (b=3)

6. АЧХ замкнутой системы. Основные показатели качества.

АЧХ замкнутой системы определяется формулой:

Построим график этой функции в среде программы MathCAD 15

Рисунок 5 – Амплитудно- частотная характеристика замкнутой системы

Основные показатели качества:

1. – показатель колебательности, определяемый как отношение максимального значения АЧХ к ее значению при :

2. – резонансная частота системы или объекта, при которой АЧХ имеет максимум.

3. – полоса пропускания системы управления – это интервал частот от до частоты , в котором выполняется условие:

4. – частота среза, при которой АЧХ системы принимает значение, равное единице

5. -эквивалентная полоса пропусканиязамкнутой системы:

7. АФХ разомкнутой системы. Колебательность системы.

Построим на одном графике АФХ разомкнутой системы и M-окружность с радиусом и сдвигом по вещественной оси влево на в среде программы MathCAD 15. Значение показателя колебательности было найдено в пункте 6.

Рисунок 6 – АФХ разомкнутой системы и M-окружность

Как видно из рисунка 6, M-окружность касается АФХ разомкнутой системы при значении частоты , что говорит о правильном найденном значении M

Вывод:

По графику, полученного моделированием уравнения замкнутой системы переходной функции , мы определили показатели качества переходного процесса, поняв их геометрические смыслы. Определили интегральные оценки качества системы, построив кривую ошибки, полученного в среде программы MathCAD 15 моделированием уравнения ошибки системы, исследовали поведение кривой в типовых режимах. Далее, построив АЧХ замкнутой системы, определили основные показатели качества, и по значению показателя колебательности построили на одном графике M-окружность и АФЧХ разомкнутой системы, убедившись, что окружность касается АФЧХ при частоте резонанса.

Лабораторная работа № 2

«Устойчивость автоматических систем»

Цель работы: исследования, связанные с устойчивостью автоматических систем.

Исходные данные:

В лабораторной работе исследуется автоматическая система, структурная схема которой имеет вид:

Вариант – 5:

1)Запишем передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем:

2) Построим область устойчивости замкнутой системы при помощи D-разбиения:

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

Характеристический комплекс равен:

Уравнения, определяющие границу устойчивости:

Решая их совместно относительно параметра k и T , получим:

Формулы дают два решения для и определяют две ветви кривой D-разбиения. Одна из ветвей (знак плюс перед корнем) целиком лежит в правой полуплоскости ( , другая - в левой и в дальнейшем не рассматривается, т.к соответствует неустойчивой системе ( .

Найдем определитель, составленный из частных производных:

Для определения знака определителя построим в среде приложения MathCAD 15 график вспомогательной функции

Как видно из графика вспомогательной функции (рисунок 1), определитель положителен при всех , поэтому штриховку следует наносить слева по возрастанию частоты. В нашем случае кривая и при отрицательных, и положительных частотах идет по нисходящей (рисунок 2).

Рисунок 1 – График вспомогательной функции

Рисунок 2- Кривая D-разбиения границы устойчивости

3) Определим аналитически, используя критерий Гурвица, минимальное значение

Характеристический полином замкнутой системы имеет вид:

Составим определители Гурвица из коэффициентов характеристического полинома:

Получаем систему уравнений:

То есть

4) Заполним для заданной автоматической системы три таблицы Рауса при :

Характеристический полином замкнутой системы имеет вид:

Составим общую таблицу Рауса:

Таблица 1 – Общая таблица Рауса

Для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса при были положительны, то есть:

Составим таблицы Рауса для частных случаев

Таблица 2 – Таблица Рауса при

Cистема устойчива при

Таблица 3 – Таблица Рауса при

Cистема неустойчива при , не все значения в первом столбце таблицы Рауса положительны

Таблица 4 – Таблица Рауса при

Система неустойчива при

5) Построим для заданной автоматической системы в среде программы MathCAD 15 три кривых Михайлова при :

Характеристический полином замкнутой системы имеет вид:

Для построения годографа Михайлова необходимо произвести замену

Рисунок 3 – Кривая Михайлова при

Рисунок 4 – Кривая Михайлова при

Рисунок 5 – Кривая Михайлова при

Теорема Михайлова: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при ее кривая Михайлова, начинаясь при с положительной вещественной полуоси, последовательно обходила n-квадрантов в положительном направлении (против часовой стрелки), где n– порядок характеристического уравнения. (Кривые Михайлова устойчивых систем не пересекают начало координат и уходят в бесконечность в n-м квадранте).

Эти условия выполняются из трех вариантов только при

6)В заданной автоматической системе разомкнём обратную связь и для получившейся разомкнутой системы построим три АФЧХ для

Для проверки устойчивости замкнутой системы будем использовать критерий Найквиста:

Для того, чтобы замкнутая система с отрицательной обратной связью была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой системы охватывала точку в положительном направлении раз, где число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Передаточная функция разомкнутой системы было найдено в п. 1:

Тогда характеристический полином разомкнутой системы имеет вид:

корни которого:

т.е в нашем случае, чтобы выполнился критерий Найквиста, необходимо, чтобы годограф Найквиста (АФЧХ) не охватывал точку , так как число правых корней равно нулю.

Рисунок 6 – Годограф Найквиста при

Рисунок 7 – Годограф Найквиста при

Рисунок 8 – Годограф Найквиста при

Из всех вариантов только при АФЧХ удовлетворяет критерию Найквиста

7)Получим путем моделирования три переходные функции для

Переходная функция находится по формуле:

где - обратное преобразование Лапласа, х – входной сигнал. Для моделирования будем использовать программу MathCAD 15. Получим графики переходных функций для различных , воспользовавшись функцией invlaplace, выполняющую обратное преобразование Лапласа:

Рисунок 9 – Переходная кривая при

Рисунок 10 – Переходная кривая при

Рисунок 11 – Переходная кривая при

Вывод: в ходе лабораторной работы научились строить кривую D-разбиения границы устойчивости в плоскости двух параметров, и, определив аналитически с помощью критерия Гурвица , проверили различными критериями (Рауса, Михайлова, Найквиста) устойчивость системы при различных ( ) и построили переходные кривые путем моделирования в среде программы MathCAD15

Лабораторная работа № 3

«Построение асимптотических ЛЧХ»

Цель работы: ознакомление с методом построения асимптотических логарифмических частотных характеристик и определение устойчивости системы по данным характеристикам.

Исходные данные: в лабораторной работе исследуется автоматическая система, структурная схема которой имеет вид

Данные для варианта №5:

1)Запишем аналитические выражения для ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

Для этого приведем в соответствующий вид передаточную функцию системы:

Тогда выражение для ЛАЧХ примет вид:

А для ЛФЧХ:

2)Найдем значения сопрягающих частот числителя и знаменателя, и логарифма коэффициента усиления:

3)Построим асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ

Рисунок 1 – Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ

Замкнутая САУ является устойчивой, так как при любом значении модуля фазовый сдвиг не достигает значения

4)Построим в среде программы MathCAD ЛАЧХ и ЛФЧХ по аналитическим выражениям, полученные в пункте 1

Рисунок 2 – ЛАЧХ и ЛФЧХ, полученные по аналитическим выражениям

Вывод: мы познакомились с методом построения асимптотических логарифмических частотных характеристик и определили устойчивость системы по данным характеристикам. Сравнив их с графиками характеристик по аналитическим выражениям, мы можем сделать вывод о правильном определении устойчивости САУ.

Лабораторная работа № 4

«Связь параметров САУ с ЛАЧХ»

Цель работы: определение характера влияния параметров САУ на ЛАЧХ системы.

Исходные данные: в лабораторной работе исследуется автоматическая система, структурная схема которой имеет вид:

Данные для варианта №5:

Таблица 1 – Исходные данные

Передаточная функция системы примет вид:

1. Найдем для каждого параметра характеристического уравнения его критическое значение (при неизменных остальных параметрах) при котором САУ окажется на границу устойчивости. Для этого применим критерий Гурвица.

Тогда

Приравняв значение нулю, получим критические значения параметров:

2. Найдем для каждого параметра полинома числителя его критическое значение (при неизменных остальных параметрах) при увеличении которого САУ станет не минимально-фазовой. Для этого также применим критерий Гурвица.

Тогда

Приравняв значение нулю, получим критические значения параметров:

В результате получим 9 вариантов параметров САУ, 8 из которых содержат критическое значение какого-либо параметра:

Таблица 2

3. Построим ЛАЧХ для всех вариантов

Выражение для ЛАЧХ в общем виде:

Рисунок 1 – ЛАФХ с различными критическими параметрами САУ

Рисунок 2 – ЛАЧХ с различными критическими параметрами САУ

Вывод: найдя для каждого параметра характеристического уравнения и полинома числителя их критические значения (при неизменных остальных параметрах) с помощью критерия Гурвица, мы построили 9 ЛАЧХ с различными критическим параметрами САУ.