Скачать: 3432.zip [302,61 Kb] (cкачиваний: 40)  

Задание №1 (вариант 1)

Цель работы: определить настройки типового регулятора (ПИ, ПИД, ПД), минимизирующие интегральный квадратичный критерий при заданном ограничении . Выбрать промышленный регулятор и его настройки.

1.Построить переходную кривую объекта по табличным данным.

2. По переходной кривой методом «площадей» Симою М.П. определить параметры нескольких моделей объекта (площадь S₁ рассчитать вручную).

3. По найденным передаточным функциям методом обратного преобразования Лапласа рассчитать и построить переходные кривые моделей (две точки одной из кривых рассчитать вручную). Выбрать рабочую модель, наиболее близкую к объекту.

4. Построить нормальную АФХ рабочей модели объекта:

(Одну точку АФХ рассчитать вручную).

5. Выбрать закон регулирования (расчет вести для двух законов регулирования.

6. Построить область устойчивости в плоскости настроечных параметров регулятора (одну точку кривой Д-разбиения для одного из регуляторов построить вручную).

7. Рассчитать и построить в плоскости параметров настроек кривую равного значения:

–показателя колебательности M=M_{е зад} :

M_{е зад} = 1.2

8. Определить оптимальные параметры регулятора.

9. Построить АФХ разомкнутой АСР (одну точку рассчитать вручную) и АЧХ замкнутой по задающему воздействию или ошибке (если задан M_е ) для оптимальных настроек регулятора.

10. Провести анализ качества регулирования. Выбрать наилучший закон регулирования.

Исходные данные:

DX_вх = 0,15 кг/см²; M_{е зад} = 1.2

t_зап = 1 мин

DХ_вых = 24 °С; DТ_шк = 600 °С

Таблица 1 – Кривая разгона

Содержание

1.Построение переходной кривой по табличным данным…………………………4

2.Определение параметров нескольких моделей объекта по переходной кривой методом «площадей» Симою………………………………………………………..4

3.Исследование модели 1…………………………………………………………….7

4.Исследование модели 2…………………………………………………………….8

5.Построение нормальной АФХ рабочей модели объекта………………………...9

6.Выбор законов регулирования…………………………………………………...10

7.Построим область устойчивости в плоскости настроечных параметров регулятора…………………………………………………………………………………...11

8. Рассчитаем и построим в плоскости параметров настроек кривую равного значения: показателя колебательности М=М_{езад…………………………………………………………..}14

9. Построить АФХ разомкнутой АСР и АЧХ замкнутой по задающему воздействию для оптимальных настроек регулятора……………………………………....17

10. Проведем анализ качества регулирования. Выберем лучший закон регулирования…………………………………………………………………………………19

11. Приложение……………………………………………………………………..22

Список использованных источников……………………………………………...25

Ход работы

1.Построение переходной кривой по табличным данным

Рисунок 1 - Экспериментальная переходная кривая

Исключаем запаздывание и получим кривую разгона в отклонениях:

Таблица 2 – Кривая разгона без запаздывания

Входной сигнал:

2.Определение параметров нескольких моделей объекта по переходной кривой методом «площадей» Симою

Для расчета параметров моделей методом площадей целесообразно ввести нормированную кривую разгона:

ħ(t) =

Введем вспомогательную функцию φ(t):

φ(t) = 1 – ħ(t)

Из графика видно =24

Коэффициент усиления:

[ ]

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию , определяемую формулой:

, где

Моменты вспомогательной функции вычислим по формулам:

Для вычисления интегралов в формулах моментов воспользуемся методом трапеций. Согласно формуле трапеций интеграл вида,

,

заменяется суммой,

Получаем следующие формулы для вычисления моментов:

Таблица 2 – Расчет коэффициентов по методу «площадей» Симою

Находим моменты :

По рекуррентным формулам при помощи найденных моментов вспомогательной функции определим площади:

Выбираем две наиболее близкие к экспериментальной модели объекта:

модель 1:

модель 2:

3.Исследование модели 1

Рассмотрим модель, передаточная характеристика которой имеет вид:

Так как степень полинома числителя равна 0, то коэффициенты полинома знаменателя равны площадям соответственно:

Таким образом, передаточная характеристика примет вид:

Или с учетом времени запаздывания:

Cистема устойчива.

Определим корни характеристического полинома.

Имеем характеристический полином 1-го порядка :

Корни характеристического полинома:

Определим вид теоретической переходной кривой, выполнив обратное преобразование Лапласа в среде TAU:

Сравним графики теоретической и экспериментальной переходной кривой без учета времени запаздывания:

Рисунок 2 – Графики теоретической и экспериментальной переходных кривых

4.Исследование модели 2

Рассмотрим модель, передаточная характеристика которой имеет вид:

Подставив известные данные, получим:

Или с учетом времени запаздывания:

Проверим устойчивость системы с помощью критерия Гурвица:

Т.к. диагональные определителя Гурвица больше нуля то система устойчива.

Определим корни характеристического полинома.

Имеем характеристический полином 2-го порядка :

Корни характеристического полинома:

Выполнив обратное преобразование Лапласа в среде TAU, получим переходную характеристику:

Для проверки найденной теоретической переходной функции и для ее сравнения с экспериментальной построим графики обеих функций:

Рисунок 3 - Графики теоретической и экспериментальной переходных кривых

В качестве рабочей примем модель № 2, имеющей передаточную характеристику вида:

5.Построение нормальной АФХ рабочей модели объекта

Выделив действительную и мнимую часть, строим нормальную АФХ (см. рисунок 4):

Re(W(jw))=

Im(W(jw))=

Таблица 3 – Значения АФХ для различных значений w

Рисунок 4 – Нормальная АФХ рабочей модели объекта

Покажем, как ведет себя АФХ вблизи точки (-1;j0)

Рисунок 5 – Нормальная АФХ рабочей модели объекта вблизи точки (-1,j0)

Таким образом, построенная АФХ объекта свидетельствует о неустойчивости заданной модели (по критерию Найквиста система устойчива, если не охватывает точку (-1;j0)).

Для приведения системы к устойчивому состоянию используем законы регулирования.

6.Выбор законов регулирования

Воспользуемся соотношением , где - время переходного процесса.

Так как экспериментальная переходная кривая задана дискретно, то для нахождения используем формулу промежуточного значения функции при дискретном распределении:

,

где a=22.2, b=23.8, =1.2 ,

Получим:

Следовательно,

Минимальное значение времени регулирования для различных регуляторов при оптимальных настройках может определяться следующей таблицей:

Таблица 4 – Характеристики регуляторов

Для исследования будем использовать ПИ и ПИД законы регулирования

где K₀= K/T_и; K₁= K; K₂= KT_Д/T_и; (в данном случае значение K может представлять собой в зависимости от используемого регулятора значения K_ПИ или K_ПИД).

7.Построим область устойчивости в плоскости настроечных параметров регулятора

Найдем область D – разбиений для ПИ – регулятора.

Передаточная характеристика в общем виде имеет вид::

Построим область устойчивости в плоскости настроечных параметров ПИ-регулятора. Кривая Д-разбиения является границей области устойчивости и показывает область изменения настроечных параметров регулятора, при которых система устойчива:

В общем случае уравнение границы области устойчивости имеет вид:

W_р(s) W(s) + 1 = 0, где W_р – передаточная функция регулятора.

В нашем случае это выражение примет вид:

Используя программное обеспечение TAU получаем, что коэффициенты K₀ и K₁ :

Рисунок 6 – Область устойчивости в плоскости настроечных параметров ПИ-регулятора

Найдем область D – разбиений для ПИД – регулятора.

Характеристический комплекс равен:

Уравнения, определяющие границу устойчивости

Примем

По полученным данным построим кривую D-разбиения. Для нанесения штриховки найдем знак определителя.

Определитель получаетсяравным

.

Определитель положителен, следовательно, для отрицательных частот, т. е. при изменении частоты в пределах от -∞ до 0, полученный определитель будет отрицательным. Поэтому при движении по полученной кривой от -∞ до 0 необходимо штри­ховать область, лежащую справа от кривой.

Для положительных частот, т. е. при изменении частоты в пределах от 0 до -∞, полученный определитель будет положительным. Поэтому при движении по полученной кривой от 0 до +∞необходимо штриховать область, лежащую слева от кривой.

Так как пара­метры и должны быть положительными,область устойчивости будет ограничиватьсяполученной кривой и положительными направлениями осей и .

Рисунок 7 – Область устойчивости в плоскости настроечных параметров ПИД – регулятора

8. Рассчитаем и построим в плоскости параметров настроек кривую равного значения: показателя колебательности М=М_езад

Функция, описывающая систему с ПИ-регулятором, имеет следующий вид:

,

где Т_и – время интегрирования

Построим АФХ регулируемого объекта. При этом время изодрома Т_И имеет несколько значений 1 мин, 2 мин, 3 мин., 5 мин, 7 мин. Проведем окружность с центром на вещественной полуоси, касающейся АФХ регулируемого объекта. М=1,2 – коэффициент колебательности.

По результатам дальнейших построений и расчётов составляем таблицу

К=160 а₁=3.16мин

М=1,2 а₂=2.65мин²

Рисунок 8 - Диаграмма Холла и АФХ ПИ – регулятора

Таблица 5 – Результаты расчета ПИ - регулятора

Из всех значений К_ПИ выбираем то, которое удовлетворяет условию , т.е. принимаем ПИ – регулятор, время изодрома, которого равно 3 минуты, К_ПИ=1.754*10^-3 Данные параметры лежат в области устойчивости в плоскости настроечных параметров ПИ – регулятора.

Функция, описывающая систему с ПИД-регулятором, имеет следующий вид

.

где Т_д – время дифференцирования

Построим АФХ регулируемого объекта. При этом время интегрирования имеет несколько значений: 1 мин, 2 мин, 3 мин., 5 мин, 7 мин; а время дифференцирования – следующие значения: 0,5; 1; 1,5; 2 и т. д. минуты.

Проведем окружность с центром на вещественной полуоси, касаю­щейся АФХ регулируемого объекта..

По результатам дальнейших построений и расчётов составляем таблицу

К=160 а₁=3.16мин

М=1,2 а₂=2.65мин²

Рисунок 9 – Диаграмма Холла и АФХ ПИД-регулятора

Таблица 6 – Результаты расчета ПИД- регулятора

Из всех значений К_ПИДвыбираем то, которое соответствует критерию и в результате, принимаем оптимальный ПИД-регулятор с парамет­рами Т_И = 1 мин., Т_Д = 1 мин., К_ПИД=4.826 . Данные параметры лежат в области устойчивости в плоскости настроечных параметров ПИД – регулятора.

9. Построить АФХ разомкнутой АСР (одну точку рассчитать вручную) и АЧХ замкнутой по задающему воздействию для оптимальных настроек регулятора.

ПИ – регулятор

Рисунок 10 - АЧХ замкнутой системы для ПИ – регулятора

Рисунок 11 - АФХ разомкнутой системы для ПИ – регулятора

ПИД – регулятор

Рисунок 12 - АЧХ замкнутой системы для ПИД – регулятора

Рисунок 13 - АФХ разомкнутой системы для ПИД – регулятора

10. Проведем анализ качества регулирования. Выберем лучший закон регулирования

Показатели качества переходного процесса

Установившееся значение выхода, определяющее статическую точность системы:

– время переходного процесса, определяющее быстродействие системы. Оно определяется из соотношения:

где - заданная малая величина, характеризующая точность системы.

предварительно задается в процентах от установившегося значения , где нет определенных требований – принимают .

– перерегулирование – максимальное отклонение от установившегося значения, выраженное в относительных единицах или процентах

– время достижения первого максимума.

– время нарастания переходного процесса, время от начала переходного процесса до момента первого пересечения графиком линии установившегося значения.

– декремент затухания, равный отношению модулей двух смежных перерегулирований.

.

Показатели качества переходного процесса для ПИ – регулятора

Рисунок 14- Прямые оценки качества переходных процессов для ПИ –регулятора

=3,6.

Определим интегральные оценки качества ПИ – регулятора

Показатели качества переходного процесса для ПИД – регулятора.

Рисунок15 – Прямые оценки качества переходных процессов для ПИД –регулятора

=3,33

Определим интегральные оценки качества ПИД – регулятора

Исходя из того, что интегральные оценки качества ПИД-регулятора меньше ПИ - регулятора, выбираем там где имеет наименьшее значение, выбираем ПИД-регулятор.

Вывод: Вычисленная квадратичная интегральная оценка, характеризующая площадь под кривой квадрата динамической ошибки, позволяет сделать вывод, что для данного объекта регулирования наиболее подходящим является ПИД -регулятор. ПИД -регуляторы обеспечивают быстродействие систем при соблюдении оптимальных настроек.

11. Приложение

Тексты использованных программ (на языке Visual Basic)

11.1 Расчет ПИ-регулятора

Private Sub Комманда1_Click()

ti = Val(Текст1.Text)

r = 1

k =160

a3 = 0

a2 = 2.65

a1 = 3.16

Line (0, 1200)-(6600, 1200)

For i = 100 To 6600 Step 15

Line (i, 1190)-(i, 1210)

Next i

Line (6000, 0)-(6000, 5000)

For i = 100 To 4850 Step 15

Line (5990, i)-(6010, i)

Next i

m = 1.2

u = Atn(Sqr(1 / (1 - (1 / m) ^ 2) - 1))

s = 0.5

Line (0, 1200 + 6000 * Tan(u))-(6600, 1200 - (6600 - 6000) * Tan(u))

For w = 0.07 To 1.5 Step 0.0001

g = (1 - a2 * w ^ 2)

h = (a3 * w ^ 3 - a1 * w)

re = (k * (g + h / (w * ti))) / (g ^ 2 + h ^ 2)

im = (-k * (g / (w * ti) - h)) / (g ^ 2 + h ^ 2)

gd = (1 - a2 * (w + 0.001) ^ 2)

hd = (a3 * (w + 0.001) ^ 3 - a1 * (w + 0.001))

red = (k * (gd + hd / ((w + 0.001) * ti))) / (gd ^ 2 + hd ^ 2)

imd = (-k * (gd / ((w + 0.001) * ti) - hd)) / (gd ^ 2 + hd ^ 2)

al = Atn((imd - im) / (red - re))

If al > 0 And re < 0 And im < 0 Then

c = re - Abs(im) * Tan(al)

r1 = Sqr((re - c) ^ 2 + im ^ 2)

r2 = -c * Sin(u)

If (Format(r1, "###.") = Format(r2, "###.")) Then r = r2

End If

PSet (6000 + re * 2, 1200 - im * 2), 7

Next w

xc = r / Sin(u)

kpi = m / (r * (m ^ 2 - 1))

Circle (6000 - xc * 2, 1200), 2 * r

f = kpi / ti

Текст2.Text = "ti(мин)" + Str(ti) + " xc" + Str(-xc) + " kpi(атм/град)" + Str(kpi)

Текст3.Text = "r(град/атм)" + Str(r) + " kpi/ti(атм/град*мин)" + Str(f)

Print "xc=-"; xc

Print "r="; r; "град / атм"

Print "kp="; kpi; "атм / град"

End Sub

11.2Расчет ПИД-регулятора

Private Sub Комманда1_Click()

Cls

ti = Val(Текст1.Text)

td = Val(Текст4.Text)

r = 1

k =160

a3 = 0

a2 = 2.65

a1 = 3.16

Line (0, 1000)-(6400, 1000)

For i = 100 To 6400 Step 15

Line (i, 990)-(i, 1010)

Next i

Line (4900, 0)-(4900, 4800)

For i = 100 To 4650 Step 15

Line (4890, i)-(4910, i)

Next i

m = 1.2

u = Atn(Sqr(1 / (1 - (1 / m) ^ 2) - 1))

Line (0, 1000 + 4900 * Tan(u))-(6400, 1000 - (6400 - 4900) * Tan(u))

For w = 0.07 To 5 Step 0.0001

g = (1 - a2 * w ^ 2)

h = (a3 * w ^ 3 - a1 * w)

re = (k * (g + h * (1 / (w * ti) - w * td))) / (g ^ 2 + h ^ 2)

im = (k * (h + g * (w * td - 1 / (w * ti)))) / (g ^ 2 + h ^ 2)

gd = (1 - a2 * (w + 0.001) ^ 2)

hd = (a3 * (w + 0.001) ^ 3 - a1 * (w + 0.001))

red = (k * (gd + hd * (1 / ((w + 0.001) * ti) - (w + 0.001) * td))) / (gd ^ 2 + hd ^ 2)

imd = (k * (hd + gd * ((w + 0.001) * td - 1 / ((w + 0.001) * ti)))) / (gd ^ 2 + hd ^ 2)

al = Atn((imd - im) / (red - re))

If al > 0 And re < 0 And im < 0 Then

c = re - Abs(im) * Tan(al)

r1 = Sqr((re - c) ^ 2 + im ^ 2)

r2 = -c * Sin(u)

If (Format(r1, "###.") = Format(r2, "###.")) Then r = r2

End If

PSet (4900 + re * 8, 1000 - im * 8), 7

Next w

xc = r / Sin(u)

kpid = m / (r * (m ^ 2 - 1))

Circle (4900 - xc * 8, 1000), 8 * r

f = kpid / ti

Текст2.Text = "ti(мин)" + Str(ti) + " xc" + Str(-xc) + " kpid(атм/град)" + Str(kpid)

Текст3.Text = "r(град/атм)" + Str(r) + " kpid/ti(атм/град*мин)" + Str(f)

Print "xc=-"; xc

Print "r="; r; "град/атм"

Print "kpid="; kpid; "атм/град)"

End Sub

Список использованных источников

1. Г.К. Аязян «Определение параметров модели методом площадей Симою», Методическое руководство к курсовому и дипломному проектированию для студентов специальности «Автоматизация производственных процессов и производств», УГНТУ, Уфа, 2002

2. Г.К. Аязян «Пакет программ ТАУ кафедры АХТП УНГТУ», Краткое руководство пользователя, УГНТУ, Уфа, 1997