Курсовой проект по курсу «Теория автоматического управления» Вариант 4/3

 

Исходные данные:

Δх=25 кПа - амплитуда входного сигнала;

τ_зап= 1 мин; - запаздывание;

ΔТ_шк=100 - диапазон шкалы;

Δу_уст = 8 -установившееся значение регулируемой величины.

 

Таблица 1- Переходный процесс объекта

t,мин	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Δу,	0	0,1	1,3	2,75	3,9	4,9	5,7	6,3	6,7	7,2	7,5	7,7	7,85
t,мин	13	14	15
Δу,	7,95	8,0	8,0

 

 

1. Построение переходной кривой объекта.

По данным таблицы 1 построим переходную кривую объекта (рис. 1), не учитывая при этом запаздывание.

По характеру переходной кривой видно - объект с самовыравниванием.

 

 

Рис.1 - Переходная кривая объекта.

2. Определение параметров нескольких моделей объекта по переходной кривой методом «площадей» Симою М.П.

Динамические свойства объекта представляются моделью следующего вида:

, (1)

где - нормированная передаточная функция;

– коэффициент усиления

К= = 0,32 ,

– время запаздывания (запаздывание),

– коэффициенты передаточной функции;

–

Нормированной передаточной функции соответствует нормированная переходная характеристика , которая определяется как отношение текущего значения выходного сигнала к его установившемуся значению:

Для определения коэффициентов a_i и b_i нормированной предаточной функции применим метод площадей Симою.

(*)

- «площади» Симою; вычисляются по переходной кривой.

«Площади» Симою определяются с помощью вспомогательной функции j(t):

.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2- Результаты расчёта вспомогательной функции

По данным Таблицы 2 имеем:

Рис.2 - Нормированная переходная характеристика

Рис 3 - График вспомогательной функции

 

Площадь s₁ рассчитаем вручную .

;

4,76875.

Оставшиеся расчёты проведём на программе Simou.exe.Получим значения площадей и 5 вариантов рабочих моделей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введём также дополнительные модели 6 и 7 с передаточными функциями:

 

Модели 1 и 4 содержат в знаменателях отрицательные коэффициенты, следовательно, не удовлетворяют критерию Стодолы, в дальнейшем этим модели не будем рассматривать.

 

3. Расчет переходной кривой по передаточной функции.

Выбор рабочей модели.

Расчёт переходной кривой по передаточной функции проведём для варианта 6

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остальные расчёты проведём с помощью программы lapnew.exe

 

 

Таблица 3 – Рассчитанные данные

Исходный вариант			Вариант 6			Вариант 2			Вариант 3
	y(t)		t	y(t)		t	y(t)		t	y(t)
0	0		0	0		0	0,000001		0	-3,246156
1	0,1		1	0,439634		1	0,033689		1	-0,407373
2	1,3		2	1,418682		2	0,272783		2	1,717381
3	2,75		3	2,581928		3	0,908378		3	3,307499
4	3,9		4	3,725867		4	2,068982		4	4,497314
5	4,9		5	4,746290		5	3,775471		5	5,387428
6	5,7		6	5,601102		6	5,913176		6	6,053170
7	6,3		7	6,284777		7	8,230249		7	6,550951
8	6,7		8	6,811404		8	10,367430		8	6,923009
9	7,2		9	7,203907		9	11,918370		9	7,200975
10	7,5		10	7,487541		10	12,512750		10	7,408527
11	7,7		11	7,686273		11	11,907860		11	7,563398
12	7,85		12	7,821020		12	10,069530		12	7,678862
13	7,95		13	7,909039		13	7,222260		13	7,764856
14	8		14	7,963960		14	3,851007		14	7,828819
15	8		15	7,996174		15	0,644825		15	7,876319

 

Таблица 3-Продолжение

 

Исходный вариант			Вариант 5			Вариант 7
	y(t)		t	y(t)		t	y(t)
0	0		0	0,000001		0	0,000002
1	0,1		1	0,250017		1	0,287568
2	1,3		2	1,276030		2	1,250209
3	2,75		3	2,545140		3	2,505881
4	3,9		4	3,779260		4	3,750555
5	4,9		5	4,852254		5	4,838985
6	5,7		6	5,723947		6	5,723128
7	6,3		7	6,399129		7	6,405850
8	6,7		8	6,903093		8	6,913032
9	7,2		9	7,267764		9	7,277938
10	7,5		10	7,524430		10	7,533164
11	7,7		11	7,700411		11	7,707016
12	7,85		12	7,817966		12	7,822389
13	7,95		13	7,894370		13	7,896901
14	8		14	7,942541		14	7,943607
15	8		15	7,971841		15	7,971881

 

 

Совместим полученные характеристики с нашей исходной кривой объекта:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.4 - Совмещенные характеристики моделей

 

По рис. 4 переходная кривая седьмой модели наиболее приближена к переходной кривой самого объекта. В качестве рабочей выбираем модель 7.

Запишем передаточную функцию выбранной рабочей модели с учетом коэффициента усиления запаздывания.

 

4 Расчет АФХ рабочей модели объект

Для расчета нормальной АФХ в передаточную функцию нужно подставить s=jω, выделив в знаменателе действительную и мнимую части.

W_м(s) =

Значит,

Рассчитав значения Re(ω) и Im(ω) при ω=1, получаем:

Re(1)= -0,038 ; Im(1)= 0,027.

Остальные расчёты проведём с помощью программы afx_m.exe.

Рассчитаем шаг по частоте для нормальной АФХ. Из вышеприведенных расчетов находим:

W_м(s) =

Далее легко видеть, что при значении ω, определяемом формулой:

Действительная часть знаменателя обращается в нуль. Таким образом, можем определить шаг по частоте:

Исходные данные для расчета:

Рисунок 4.1 – Параметры передаточной функции

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты расчета. Частотные характеристики (Re – действительная часть АФХ, Im– мнимая часть АФХ):

Рисунок 4.2 – Результаты расчета для нормальной АФХ модели

 

 

Рисунок 4.3 – Нормальная АФХ модели

 

5 Выбор закона регулирования

Рисунок 5.1 – Структурная схема АСР

 

Выберем для дальнейших расчётов пропорционально-интегральный (ПИ) регулятор и пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) регулятор.

1) Пропорционально-интегральный (ПИ) регулятор:

 

Передаточная и переходная функции:

Для упрощения расчетов начальную частоту будем считать равной нулю

Значение приближенно определим как точку пересечения АФХ модели объекта с отрицательной полуосью. По рисункам 4.1 и 4.2 находим:

Значит, диапазон рабочих частот регулятора:

2) Пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) регулятор:

Передаточная и переходная функции:

Также для упрощения расчетов начальную частоту будем считать равной нулю

Значение приближенно определим как точку АФХ, соответствующую фазовому сдвигу φ()≈(точка в первом квадранте). По рисункам 4.1 и 4.2 (учтем, что точка соответствует фазовому сдвигу , если Re(ω)≈Im(ω)≥0 ) находим:

Рисунок 5.2 – Определение рабочей частоты регулятора ω^Д

Значит, диапазон рабочих частот регулятора:

 

6 Построение области устойчивости в плоскости настроечных параметров регуляторов

Кривая D-разбиения является границей области устойчивости и показывает область изменения настроечных параметров регулятора, при которых система устойчива.

Кривая D-разбиения может быть получена из характеристического уравнения замкнутой АСР подстановкой s=jw.

W_¥(s) + 1 = 0, что эквивалентно D_з(s) = 0.

Передаточная функция разомкнутой АСР:

W_¥(s) = W_р(s). W_м(s),

где W_р(s) – передаточная функция регулятора.

Уравнение границы области устойчивости:

W_р(s). W_м(s) + 1 = 0.

1) ПИ-регулятор:

Проведем преобразования:

Выделим вещественную и мнимую части. Приравняем их к нулю:

,

т.е.
,

где

Решим полученную систему уравнений методом Крамера:

Аналогично пункту 4 находим:

W_м(s) =

Re(0,5)= -0,108 ; Im(0,5)= -0,09.

Рассчитаем значение кривой Д-разбиения в точке соответствующей частоте ω=0,5:

Остальные расчёты проведём при помощи программы tun_wt.exe.

Построим кривую D-разбиения в плоскости параметров идля ПИ - регулятора.

Рисунок 6.1 – Кривая D-разбиения для ПИ-регулятора

 

Рисунок 6.2 – Результаты расчета ПИ-регулятора

 

 

2) ПИД – регулятор

где 0,15≤α≤0,6.

Коэффициент выбираем таким образом, чтобы кривая D - разбиения не самопересекалась и не состояла из нескольких ветвей.

Проведем преобразования:

где

Расчетные соотношения для построения кривой Д-разбиения:

Построим кривую D-разбиения в плоскости параметров идля ПИД – регулятора (при α=0,2).

Рисунок 6.3 – Кривая D-разбиения для ПИД-регулятора

 

Рисунок 6.4 – Результаты расчета ПИД-регулятора

 

7 Расчет настроечных параметров регуляторов

Показателя колебательности М= Мзад = 1,5.

Проведём расчеты с помощью программы mem2.exe.

Рисунок 7.1 – Кривая М= М_зад = 1,5 для ПИ-регулятора

Рисунок 7.2 – Параметры настройки ПИ-регулятора

Рисунок 7.3 – Кривая М= М_зад = 1,5 для ПИД-регулятора

 

Рисунок 7.4 – Параметры настройки ПИД-регулятора

 

 

 

 

Рисунок 7.5 – Совмещенные кривые D-разбиения для ПИ-регулятора

 

Рисунок 7.6 – Совмещенные кривые D-разбиения для ПИД-регулятора

 

 

 

 

8 Выбор оптимальной (рабочей) точки

Согласно заданию оптимальные настройки (рабочая точка) должны удовлетворять условию минимума интегрального квадратичного критерия I₀. Практика и теоретические исследования показали, что минимум I₀достигается на границе области M≤M_зад. Положение рабочей точки зависит от характера возмущающего воздействия и точки его приложения.

Известно возмущение и передаточная функция объекта по каналу возмущения. В нашем случае скачкообразное возмущение приложено со стороны регулирующего органа, а передаточная функция рассчитывается по переходной кривой. В этом случае рабочая точка лежит несколько правее максимума граничной кривой и определяется формулами: ω_р = 1,2*ω^max или ω_р = 0,67*ω^п.

Найдём оптимальные параметры регуляторов.

1) ПИ-регулятор:

Воспользовавшись рисунками 7.1 и 7.2, определяем:

ω_р = 1,2*ω^max = 1,2*0,35 ≈ 0,4;

К₀ = 0,895468;

К₁ = 3,512107.

2) ПИД-регулятор:

Воспользовавшись рисунками 7.3 и 7.4, определяем:

ω_р = 1,2*ω^max = 1,2*0,6 ≈ 0,7;

К₀ = 1,494969;

К₁ = 7,930634;

К₂ = 8,414218.