Скачать:   kv.zip [1,88 Mb] (cкачиваний: 2)

ВВЕДЕНИЕ. 3

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ. 8

ГЛАВА 1. 10

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ НЕФТИ, ГАЗА И ВОДЫ.. 10

1.1. Краткий обзор работ, посвящённых теории фильтрации. 10

1.2. Закон Дарси и границы применимости. 12

1.3. Нелинейные законы фильтрации. 15

1.4 Метод последовательной смены стационарных состояний. 18

ГЛАВА 2. 22

ОСОБЕННОСТИ ФИЛЬТРАЦИИ В НИЗКОПРОНИЦАЕМЫХ КОЛЛЕКТОРАХ С ПРОЯВЛЕНИЕМ ПРЕДЕЛЬНОГО ГРАДИЕНТА. 22

2.1. Модель процесса фильтрации с учётом нелинейных эффектов. 22

2.2. Радиальная задача о фильтрации жидкости. 23

2.3. Установившаяся фильтрация 24

2.4. Обобщение формулы Дюпюи. 25

2.5. Неустановившийся радиальный поток. 28

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 39

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 40

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. В настоящее время, одной из главных проблем технологии добычи углеводородного сырья, является разработка пластов со сверхнизкой проницаемостью м². Согласно опубликованным источникам [3–5, 25], опытные данные для натуральных образцов низкопроницаемых пород показывают, что при фильтрации нефти через них, законы фильтрации при низких градиентах давления становятся сильно нелинейными. В частности, согласно рисункам, представленным в работе [1], снижение проницаемости в десятки раз наблюдалось при градиентах давления не превышающих 5∙10⁵Па/м. Лабораторные исследования [3–5] также показывают, что подобное отклонение происходит не только для нефтей, но также и при фильтрации воды. Причем, величины характерных градиентов давления при которых наблюдается нелинейность, зависят также от флюида, каким пористая среда насыщена в исходном состоянии. Результаты измерений величин скорости фильтрации от градиента давления лабораторных исследований [4] представлены в виде зависимости коэффициента эффективной проницаемости от градиента давления. Картина таких зависимостей имеет вид, представленный на рис.1. Видно, что фильтрационное течение вообще отсутствует, если градиент давления становится ниже некоторого предельного значения. При достаточно высоких значениях градиента давления величина стремится к некоторому предельному значению и, следовательно, закон фильтрации становится линейный. Следует также отметить, что из-за ограничений в точности измерительного оборудования в фильтрационных лабораториях, зависимости скорости фильтрации от градиента давления не могут быть получены во всем диапазоне градиентов давления. Но ясно, что в низкопроницаемых пластах скорость фильтрации может снижаться в десятки и более раз при слабых градиентах давления по сравнению со значениями, следующими из линейного закона Дарси. Основываясь на этом, в качестве наиболее простой идеализации процесса фильтрации в низкопроницаемых коллекторах, примем, что течение через пористую среду вообще отсутствует, если величина градиента давления становится ниже некоторой предельной величины . Таким образом, фильтрация жидкости происходит только в тех зонах, где градиент давления выше этой предельной величины. Нарушение линейного закона при низких градиентах давления, связанное с реологией нефтей, наблюдалось ранее в [14]. Закон фильтрации с предельным градиентом применительно к вязкопластичным жидкостям был предложен А.Х. Мирзаджанзаде [15]. Далее теория течения в пластах неньютоновских жидкостей с такими реологическими свойствами развивалась в его школе [1, 16], а также в работах Г.И. Баренблатта с его учениками [6].

Рис.1. Зависимость коэффициента эффективной проницаемости от градиента давления.

Задача научно-технического прогресса кардинального повышения эффективности освоения трудноизвлекаемых запасов нефти в низкопроницаемых коллекторах, определяет актуальность представленной работы.

Объект исследования– фильтрационое течение в низкопроницаемых пластах.

Предмет исследования – влияние нелинейных эффектов фильтрации в низкопроницаемых пластах.

Целью дипломной работы является изучение нелинейного закона фильтрации в низкопроницаемых пластах с проявлением предельного градиента давления.

В соответствии с целью поставлены и решены следующие задачи:

1.Изучение литературы по исследуемой теме.

2.Исследование теоретической модели, описывающей приток жидкости к скважине низкопроницаемых пластах.

3.Подготовка публикаций по результатам исследования.

4.Создание программных продуктов для численных расчетов по созданным моделям.

5.Изучение влияния показателя степени, определяющего темп выхода закона фильтрации к линейному закону Дарси на изменение давления, дебита и возмущенной зоны вокруг скважины.

Методы исследования. Для получения научных результатов в дипломной работе были использованы методы и подходы, применяемые в области механики сплошных сред. Моделирование и исследование свойств выполнялось с помощью прикладного программного пакета MathCad.

Научная новизна. Представлено теоретическое описание для процесса фильтрации в низкопроницаемых пластах с проявлением предельного градиента давления и степенного закона выхода к закону Дарси при повышении величины градиента давления.

Обоснованность и достоверностьрезультатов работы следует из корректности физической и математической постановок задач, применения при разработке математических моделей уравнений механики сплошных сред, а также получения решений, не противоречащих общим гидродинамическим представлениям и в некоторых частных случаях согласующихся с результатами других исследователей. Компьютерная реализация построенных математических моделей производилась с использованием широко апробированных программных пакетов.

Практическая значимость. Полученные в работе результаты могут быть использованы для повышения эффективности показателей разработки низкопроницаемых пластов.

Апробация работы. Основные вопросы дипломной работы докладывались и обсуждались на Республиканской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Наука в школе и вузе» (Бирск, 2013) и на Всероссийской научной конференции «Инновационный потенциал молодежной науки» (Уфа, 2013).

Публикации. Основные научные результаты по теме дипломной работы изложены в статье, опубликованной в научном сборнике конференции.

Структура и объем дипломной работы. Дипломная работа состоит из введения, двух глав основного текста, заключения, и списка литературы. Общий объем работы составляет 42 листа. Работа содержит 9 иллюстраций. Список литературы содержит 27 наименований.

Во введении обоснована актуальность выполненной дипломной работы, сформулированы цель, задачи и методы исследования, приведена научная новизна и практическая значимость.

В первой главе дан краткий обзор работ, посвященных изучению теории фильтрации. Рассмотрен закон Дарси и границы его применимости. Приведена краткая характеристика метода последовательных смены стационарных состояний для задачи плоскорадиального неустановившегося фильтрационного потока.

Во второй главе с учетом нелинейных эффектов, наблюдаемых в опытах с низкопроницаемыми пластами, при малых градиентах давления предложено уточнение закона Дарси. Методом последовательной смены стационарных состояний решена модельная задача, описывающая приток жидкости к скважине. Для двух режимов эксплуатации скважины, а именно в режиме постоянного отбора жидкости и в режиме, когда перепад между пластовым и забойным давлениями поддерживается постоянным получены аналитические и численные решения, описывающие распределение давления вокруг скважины. Установлено, что снижение притока жидкости происходит не только за счет величины предельного градиента, но также зависит от показателя степени, определяющего темп выхода закона фильтрации к линейному закону Дарси.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в дипломной работе.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

– проницаемость, м²;

– градиент давления, Па/м;

– коэффициент динамической вязкости жидкости, Па·с;

– коэффициент динамической сжимаемости жидкости Па^-1;

– пористость;

– коэффициент пьезопроводности м²/c;

– массовый дебит скважины кг/c;

– объемный расход жидкости, м³/c;

– протяженность открытого участка скважины, м;

– предельный градиент давления, Па/м;

– скорость звука жидкости м/c;

– время, с;

– радиус скважины, м;

– радиус пласта, м;

– радиус возмущенной зоны вокруг скважины, м;

– пластовое давление, Па;

– забойное давление, Па;

– перепад между пластовым и забойным давлением, Па;

– минимальное предельное значение перепада давления, Па;

– коэффициент, определяющий безразмерный расход жидкости для принятого нелинейного закона фильтрации;

– плотность жидкости в пористой среде, кг/м³;

– возмущение плотности жидкости в пористой среде от исходного значения , кг/м³;

– постоянная, имеющая размерность давления, Па;

– скорость фильтрации, м/с;

– скорость фильтрации на границе пористой среды, м/с;

Индексы

– исходное состояние параметра;

– конечное значение параметра;

ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ НЕФТИ, ГАЗА И ВОДЫ

1.1. Краткий обзор работ, посвящённых теории фильтрации

Среди опубликованных работ, содержащих экспериментальные данные, наибольший интерес представляют работы [3-5] А.В. Байкова, А.В. Колонских, А.К. Макатрова, М.Е. Политова, А.Г. Телина. В работе [5] представлены лабораторные исследования нелинейных эффектов при фильтрации воды и нефти, проведенные в ООО «РН-УфаНИПИнефть» в 2013 г. Для проведения фильтрационных исследований были использованы естественные низкопроницаемые образцы (проницаемостью менее2,5·10^-3 мкм²) керна Приобского месторождения.

Результаты измерений величин скорости фильтрации от градиента давления лабораторных исследований [4] представлены в виде зависимости коэффициента эффективной проницаемости от градиента давления. Видно, что фильтрационное течение отсутствует, если градиент давления становится ниже некоторого предельного значения. При достаточно высоких значениях градиента давления величина стремится к некоторому предельному значению и, следовательно, закон фильтрации становится линейный. В работе [3] выявлено, что фильтрация в низкопроницаемых коллекторах характеризуется отклонением от линейного закона фильтрации Дарси.

Похожие эксперименты были проведены китайскими нефтяниками, представленными в работе [25] Lei Q., Xiong W., Yuan J., Gao S., Wu Y. В их работах, опубликованных в 2012 г. показано, что фильтрация при определенном градиенте давления не подчиняется линейному закону.

В статье Коробова К. Я., Антилина Ю. В. [14] предоставлены результаты опытов по фильтрации жидкости при различных градиентах давления. Было выявлено, что проницаемость пласта зависит от градиента давления. Эта зависимость наблюдалась на образцах песчаника с проницаемостью 0,1-0,5 Д до значения градиента давления 0,03 кГ/(см²м). Дальнейшее увеличение градиента давления не приводит к изменению проницаемости. Установлено, что при фильтрации жидкости проницаемость образцов никогда не достигает воздухопроницаемости при любых градиента давления. Полученные результаты свидетельствуют о границах проницаемости и нарушении линейного закона фильтрации в области низких градиентов давления.

В книге Алишаева М. Г., Розенберга М. Д., Теслюка Е. В. [1] описаны влияния закачиваемой в больших объемах воды с низкой температурой на показатели разработки и коэффициенты нефтеотдачи, а так же их зависимость от тепловых методов воздействия на пласт. Рассмотрен механизм вытеснения нефти из пластов при термозаводнении, температурный режим за фронтом вытеснения и в тех его областях, где фронт вытеснения отстает. Приведены примеры определения показателей фильтрации и технико-технологических показателей разработки при вытеснения нефти водой.

В работе Мирзаджанзаде А. Х., Аметова И. М., Ковалева А. Г. [17] были рассмотрены коллекторские, тепловые и механические свойства горных пород, фазовые состояния углеводородных систем, основы вытеснения нефти и газа из пористых сред, моделирования процессов, которые происходят в нефтяных и газовых месторождениях. Было изучено нарушение закона Дарси для одномерного случая, когда связь между скоростью фильтрации и градиентом давления становится нелинейным. А. Х. Мирзаджанзаде был введен закон фильтрации с начальным градиентом давления для одномерного течения. Если величина приложенного градиента давления меньше чем начальный градиент, то движение в пласте будет отсутствовать, если эта величина больше начального градиента, то он определяется соответствующим законом.

В книге Баренблатт Г. И., Ентова В. М., Рыжика В. М., [6] дана краткая характеристика пористых сред, в которых происходит фильтрация жидкости. Основное внимание уделено решению задач по нестационарной фильтрации жидкости, газа и многофазных систем. Рассматриваются теоретические предпосылки фильтрации в пористых, трещиноватых и трещиновато-пористых средах. Описаны законы фильтрации смесей различных физических свойств, зависимости вытеснения одной жидкости другим. Все задачи решаются применительно к разработке нефтяных и газовых месторождении.

В учебнике Арье А.Г. [2] впервые рассмотрен процесс фильтрации жидкости в пористой среде с учетом энергии взаимодействия между молекулами жидкости и поверхностью минерального скелета вмещающих пород. Изложен физический смысл понятий течения жидкости, вязкости, напора, диффузии и т. д., приведены свойства минерального скелета водовмещающих пород, основные сведения по физическим и молекулярным свойствам воды. Решены некоторые задачи с учётом нелинейной фильтрации жидкости.

Большой вклад в изучении нелинейной фильтрации, а также влияния градиентов давления на параметры пластов с низкой проницаемостью был внесён авторами работ [8-13, 20].

1.2. Закон Дарси и границы применимости

В результате экспериментального изучения движения воды через песчаные фильтры в 1856 г. был установлен основной закон фильтрации – закон Дарси (или линейный закон фильтрации), который подразумевает, что скорость фильтрации пропорциональна градиенту давления. Установление границ применения этого закона имеет принципиальное значение [21].

Поверке и исследованию пределов применимости закона Дарси посвящено значительное число работ. В процессе этих исследований показано, что существуют две основные группы причин отклонения от закона Дарси:

1) отклонения, связанные с проявлением инерционных сил при высоких скоростях фильтрации (верхняя граница применимости закона Дарси);

2) отклонения при достаточно малых скоростях фильтрации, вызванные проявлением неньютоновских реологических свойств жидкости, её взаимодействием с твёрдым скелетом пористой среды (нижняя граница применимости закона Дарси).

Каждый из предельных случаев, приводят к нелинейным законам фильтрации.

Наиболее полно изучены отклонения от закона Дарси, вызванные проявлением инерционных сил при увеличении скорости фильтрации. Верхнюю границу применимости закона Дарси связывают обычно с некоторым критическим (предельным) значением числа Рейнольдса:

,

где - некоторый характерный линейный размер пористой среды;-кинематический коэффициент вязкости флюида.

Многочисленные экспериментальные исследования и, в частности, опыты Дж. Фэнчера, Дж. Льюиса и К. Бернса, Линдквиста, Г. Ф. Требина, Н. М. Жаворонкова, М.Э. Аэрова и других были направлены на построение универсальной зависимости (по аналогии с трубной гидравликой) коэффициента гидравлического сопротивления от числа Рейнольдса. Однако вследствие различной структуры и состава пористых сред получить такую универсальную зависимость не удается.

При обработке результатов экспериментов значительное внимание обращалось на такой выбор характерного размера поровой структуры, чтобы отклонения от закона Дарси возникали при одинаковых значениях числа Рейнольдса, и закон фильтрации в нелинейной области допускал универсальное представление.

Первая количественная оценка верхней границы применимости закона Дарси была дана более 60 лет назад Н. Н. Павловским, который, опираясь на результаты Слихтера, полученные для модели идеального грунта, и полагая характерный размер d равным эффективному диаметру , вывел следующую формулу для числа Рейнольдса

Используя эту формулу Н. Н. Павловский установил пределы числа Рейнольдса

При значениях числа Рейнольдса линейный закон Дарси перестает быть справедливым [7].

Наряду с этим имеются многочисленные факты, полученные гидрогеологами, показывающие отклонение от линейного закона Дарси в области низких скоростей потока при фильтрации воды [2, 9, 18, 24].

В настоящее время интенсивно развивается раздел гидродинамики наноструктурных жидкостей – нанофлюидика, или наногидродинамика [22,23]. Нанофлюидика изучает поведение, способы управления и контроля жидкости, ограниченной нанометровыми структурами. В таком состоянии жидкость проявляет нетипичные для объемного состояния свойства, например, резко увеличивается или уменьшается вязкость возле стенок нанокапилляров, изменяются термодинамические параметры, а также проявляется нетипичная химическая активность на границе раздела твердой и жидкой фаз.

Постановка задачи, близкая к нашей, которая описывает нелинейный эффект, была рассмотрена китайскими нефтяниками [26]. В их работах, опубликованных в 2009-2010 гг. показано, что фильтрация при определенном градиенте давления не подчинятся линейному закону. К сожалению, в академической науке в России и за рубежом не проявляется интерес к подобным процессам. [19]. В первую очередь это связано с тем, что для высокопроницаемых коллекторов явления нелинейной фильтрации незначительны, а низкопроницаемые коллекторы раньше практически не разрабатывались.

Однако в последние годы в связи с ухудшающейся структурой углеводородных запасов резко возрос интерес к разработке низкопроницаемых коллекторов. Одним из месторождений с таким типом коллектора является Приобское месторождение, на котором уже разбурены и введены в разработку основные участки, характеризующиеся относительно высокой проницаемостью, и остро встает вопрос о выборе способа разработки оставшейся низкопроницаемой части месторождения, где содержится более половины извлекаемых запасов. При этом нет однозначного ответа, какой закон фильтрации использовать при прогнозе технико-экономических показателей разработки низкопроницаемых зон.

С целью более детального изучения этого вопроса в ООО «РН-УфаНИПИнефть» был проведен большой комплекс лабораторных исследований нелинейных эффектов при фильтрации воды и нефти в низкопроницаемой пористой среде в пластовых условиях продуктивных отложений Приобского месторождения [5].

1.3. Нелинейные законы фильтрации

Известный линейный закон Дарси, устанавливающий связь между скоростью фильтрации и градиентом давления имеет вид

, (1.3.1)

где u – скорость фильтрации, – коэффициент проницаемости, – коэффициент динамической вязкости жидкости, – градиент давления.

С 50-х годов XX в. стали появляться теоретические и экспериментальные работы, подтвердившие нарушения линейного закона Дарси. Рассмотрим некоторые из предложенных нелинейных законов фильтрации, в которых скорость фильтрации не является линейной функцией от градиента давления.

1. Закон Ф. Форхгеймера

Обобщение закона Дарси для случая больших Re (число Рейнольдса),, основанное на опытных данных, было выполнено Дюпюи, который сформулировал двучленный закон фильтрации, носящий имя австрийского исследователя Ф. Форхгеймера, независимо установившего его позднее. Это соотношение (для прямолинейно-параллельного течения) можно представить в виде

, (1.3.2)

где – дополнительная константа пористой среды, определяемая экспериментально, ρ – плотность жидкости, L – длина пласта, через который фильтруется жидкость, ∆p – разница давлений на границах пласта.

2. Нелинейный закон в виде одночленной, степенной формулы

, (1.3.3)

где С и n– некоторые постоянные, определяемые опытным путем, причем . Для n=2 формула (1.2.3), переходит в формулу Краснопольского.

3. Нелинейный закон фильтрации неньютоновских жидкостей, с предельным градиентом

В нефтяной подземной гидравлике этот закон был применен А.Х. Мирзаджанзаде. Для простейшего прямолинейно-параллельного потока его можно представить в виде

(1.3.4)

где – предельный (начальный) градиент давления, по достижению которого начинается движение жидкости; при меньших значениях градиента движение отсутствует.

4. Закон нелинейной фильтрации В.А. Байкова

Область I – в интервале градиентов давления от нуля до эффективного предельного градиента давления H_L, характеризуется постоянно изменяющимся тангенсом угла наклона кривой . Закон фильтрации в этой области можно описать следующим уравнением:

, (1.3.5)

где – скорость фильтрации, м/с; – эффективная проницаемость линейной части, м²; – вязкость воды, Пас; – градиент давления, Па/м; – функция, характеризующая изменение тангенса угла наклона кривой фильтрации.

Область II – при градиентах давления выше H_Lхарактеризуется постоянным тангенсом угла наклона (прямая линия), причем экстраполяция линейной части отсекает на оси абсцисс эффективный начальный градиент давления H₀. Закон фильтрации в этой области можно описать уравнением:

(1.3.6)

1.4 Метод последовательной смены стационарных состояний

Одним из наиболее простых по своей идее приближенных методов решения задач теории упругого режима является метод последовательной смены стационарных состояний (ПССС), развитый И.А.Чарным и широко применяющийся в практических расчетах. Метод основан на предположении, что давление в пласте меняется во времени значительно медленнее, чем по координатам. Поэтому производную по времени можно в первом приближении отбросить, в результате чего для давления получается уравнение Лапласа, описывающее стационарный процесс.

В каждый момент времени весь пласт условно разделяется на две области - возмущенную и невозмущенную. При этом предполагается, что в возмущенной области пласта, начинающейся от стенки скважины, давление распределяется так, как будто бы движение жидкости в ней установившееся и внешняя граница этой области служит в данный момент контуром питания. В невозмущенной области пласта давление всюду постоянно и равно начальному контурному давлению. Закон движения подвижной границы, разделяющей возмущенную и невозмущенную области, определяется при помощи уравнения материального баланса и граничных условий. Разделение фильтрационного потока на две области - возмущенную и невозмущенную вызывает необходимость рассматривать процесс перераспределения пластового давления протекающим в две фазы. В течение первой фазы граница возмущенной области непрерывно расширяется. И в тот момент, когда она достигает естественной границы пласта, начинается вторая фаза. При теоретическом исследовании процесса в условиях бесконечного пласта приходится, естественно, иметь дело только с первой фазой, продолжительность которой не ограничивается.

Рассмотрим теперь расчет неустановившихся одномерных потоков упругой жидкости при помощи метода ПССС.

Плоскорадиальный неустановившийся фильтрационный поток упругой жидкости.

Случай 1. Приток к скважине, на которой поддерживается постоянный дебит. Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины в момент времени пущена добывающая скважина радиусом с постоянным дебитом . До пуска скважины давление во всем пласте было одинаковым и равным .

В соответствии с методом ПССС принимаем, что через время после пуска скважины вокруг нее образуется возмущенная область радиусом , в которой давление будет распределено по стационарному закону

. (1)

В остальной части пласта сохраняется начальное пластовое давление .

Требуется найти закон движения границы возмущенной области .

Дебит скважины, очевидно, будет описываться формулой, аналогичной формуле Дюпюи,

(2)

Размеры возмущенной области найдем из уравнения материального баланса

, (3)

при

(4)

Средневзвешенное пластовое давление в установившемся плоско­радиальном потоке определяется по формуле

(5)

откуда, учитывая (2), находим

(6)

Закон движения границы возмущенной области найдем, подставив выражения (4) и (6) в уравнение материального баланса (3),

(7)

откуда после интегрирования в пределах от до t и от до найдем

(8)

Тогда из равенства (1) можно определить давление в любой точке пласта в любой момент времени

(9)

(10)

Депрессия в момент времени

(11)

Случай 2. Приток к скважине, на которой поддерживается постоянное давление . В случае плоскорадиального потока жидкости к скважине, пущенной в эксплуатацию с постоянным забойным давлением , закон движения границы возмущенной области выражается интегралом, представляемым в виде медленно сходящегося ряда. Дебит скважины определяется по формуле Дюпюи (2) при .

Сравнение с результатами точных расчетов, выполненных К.А.Царевичем и И.Ф.Курановым, показывает, что погрешность определения дебита по методу ПССС составляет около 5%.

Как в случае линейной, так и радиальной фильтрации в точке перехода от возмущенной к невозмущенной области градиент давления терпит разрыв, что служит одной из причин расхождения между результатами расчетов по методу ПССС и по точному решению. Однако этот метод служит достаточно эффективным расчетным приемом, позволяющим найти решение в простом виде, чем и объясняется его применение в некоторых случаях не только для задач фильтрации однофазного флюида, но и для задач о движении газированной жидкости и о перемещении границы раздела жидкости и газов.

ГЛАВА 2.

ОСОБЕННОСТИ ФИЛЬТРАЦИИ В НИЗКОПРОНИЦАЕМЫХ КОЛЛЕКТОРАХ С ПРОЯВЛЕНИЕМ ПРЕДЕЛЬНОГО ГРАДИЕНТА

2.1. Модель процесса фильтрации с учётом нелинейных эффектов

Для такого процесса фильтрации запишем обобщённый закон Дарси в следующем виде:

, (2.1.1)

где - безразмерный коэффициент, учитывающий фактор нелинейности.

Как видно из лабораторных данных, движение жидкости к скважине начинается только при достижении некоторого значения предельного градиента давления. Для учёта этой особенности запишем следующее условие:

(2.1.2)

Здесь– показатель степени, определяющий темп выхода закона фильтрации к линейному закону Дарси с ростом величины градиента давления, – предельный градиент. Будем рассматривать случаи, когда , и .

2.2. Радиальная задача о фильтрации жидкости

Допустим, что первоначально во всём пласте и на забое скважины приведённое давление одинаковое и равно . Пусть в какой-то момент времени из скважины начинают отбирать жидкость, благодаря чему должно понизиться давление на забое скважины . Приток жидкости к скважине обеспечивается за счёт перепада давления в пласте .

Граничные условия запишем в виде:

при , при . (2.2.1)

Уравнение состояния жидкости для упругого режима фильтрации запишется как:

, (2.2.2)

которое показывает, как изменяется плотность флюида под действием давления.

Из уравнения неразрывности для пористой среды:

, (2.2.3)

Принимая закон фильтрации (2.1.1) с учётом (2.1.2) и уравнения состояния (2.2.2), получим основное уравнение фильтрации:

(2.2.4)

Здесь– коэффициент динамической вязкости жидкости, – пористость скелета, – коэффициент пъезопроводности, – коэффициент сжимаемости жидкости.

2.3. Установившаяся фильтрация

В этом случае производная по времени будет равна нулю (). Из уравнения пьезопроводности (2.2.4) следует, что выражение в скобках будет равняться некоторой произвольной постоянной, имеющей размерность давления:

. (2.3.1)

– произвольная постоянная, которая определяется на основе граничных условий (2.2.1). Уравнение (2.3.1) можно представить в виде:

(2.3.2)

В случае выполнения закона Дарси () решение уравнения (2.3.2), удовлетворяющее условиям (2.2.1), имеет вид:

. (2.3.3)

Для уравнения (2.3.1) при, 1 и 2 можно получить явные аналитические решения, удовлетворяющие граничным условиям (2.2.1), имеющие вид:

(2.3.4)

Константа определяется из трансцендентных уравнений

(2.3.5)

,

следующих из второго граничного условия (2.2.1).

2.4. Обобщение формулы Дюпюи

Для объемного расхода жидкости , отнесенного на единицу длины скважины, имеем

, (2.4.1)

с учетом решения (2.3.2) при из (2.3.8) следует известная формула Дюпюи

. (2.4.2)

В случае принятого здесь нелинейного закона фильтрации для расхода жидкости следует записать

. (2.4.3)

Поскольку для распределения давления должен выполняться интеграл (2.3.1), для выражения расхода (2.4.3) будем иметь

. (2.4.4)

Введем безразмерный коэффициент , выражающий отклонение расхода из-за нелинейности закона фильтрации от величины расхода, определяемой формулой Дюпюи (2.4.2). Тогда, с учетом (2.4.2) и (2.4.4), для введенного безразмерного коэффициента расхода можем получить

. (2.4.5)

На рис. 2 представлена зависимость безразмерного коэффициента расхода от радиуса пласта при различных значениях перепада давления . Числа на кривых соответствуют величине этого перепада в МПа. Штрихпунктирные, точечные и пунктирные линии здесь и в дальнейшем соответствуют значениям , и . Для значений радиуса скважины и предельного градиента приняты величины м и МПа/м. Из численных расчетов следует, что для любого значения перепада давления , при некотором радиусе пласта , коэффициент обращается в нуль, т.е. приток жидкости к скважине прекращается. Следовательно, чтобы дебит скважины при радиусе пласта не равнялся нулю, величина перепада давления должна быть больше некоторого минимального предельного значения . Величина зависит от , как это следует из (2.3.5) при, следующим образом

. (2.4.6)

Для этой предельной ситуации для распределения давления в пласте, на основе решения (2.3.4), полагая , получим

. (2.4.7)

На рис. 3 представлены распределения давления вокруг скважины при м, 5,10и15МПа.

Рис. 2. Зависимость безразмерного коэффициента расхода от радиуса пласта при различных значениях перепада давления МПа и МПа.

Рис. 3. Влияние показателя степени γ на профили давления вокруг скважины. Числа на линиях соответствуют величине перепада давления в МПа.

2.5. Неустановившийся радиальный поток

Рассмотрим фильтрационное течение в неограниченном пласте. Пусть в момент времени запущена добывающая скважина. Пусть до этого распределение давления в пласте однородно и равно . Будем рассматривать два режима эксплуатации скважины, а именно в режиме постоянного отбора жидкости и в режиме, когда перепад между пластовым и забойным давлениями поддерживается постоянным . В соответствии с методом ПССС, полагается, что вокруг смены образуется возмущенная область радиуса , где давление будет распределятся по закону (2.3.4). Причем, из условия при получим уравнение, совпадающее с (2.3.5) при соответствующей замене на и связывающее , забойное давление (следовательно, и перепад давления ) и величину , связанную с объемным притоком жидкости к скважине , как:

. (2.5.1)

Запишем уравнение баланса массы, как:

. (2.5.2)

Подставляя в (2.5.2) вместо выражение (2.3.4) можем получить уравнение вида:

, (2.5.3)

где

В случае режима работы скважины при постоянном перепаде давления , из (2.5.3) получим дифференциальное уравнение для определения и (следовательно, и ) в виде:

, (2.5.4)

где

Второе уравнение, необходимое для проведения расчетов, получим дифференцированием (2.3.5) (и соответствующей замене на ) как

, (2.5.5)

где

На рис. 4 представлены законы изменения радиуса возмущенной зоны вокруг скважины . Для геометрических параметров скважины приняты следующие величины м, м. Для коллекторских характеристик пласта и свойств жидкости, а также величины предельного градиента использованы выше приведенные значения. Для исходного давления пласта скважины и перепада давления приняты значения МПа и МПа. Сплошные линии соответствуют случаю, когда . Штрихпунктирные, точечные и пунктирные линии, как было отмечено выше, соответствуют значениям , и . Из графика видно, что при фильтрации жидкости, когда учитываются нелинейные эффекты, темп роста радиуса возмущенной скважинной зоны значительно ниже, чем при выполнении линейного закона Дарси. Это, в свою очередь, приводит к снижению дебита скважины.

Рис. 4. Закон изменения радиуса возмущенной зоны вокруг скважины .

На рис.5 показано изменение массового дебита скважины , определяемого как

, , (2.5.6)

где – протяженность открытого участка скважины. Следует также отметить монотонное снижение дебита с уменьшением значения . В частности, как видно из рисунка, дебит скважины через 10 суток её эксплуатации при 0,1МПа/м примерно в два раза ниже, по сравнению со случаем, если бы выполнялся линейный закон Дарси . Изменение показателя от значения до приводит к росту дебита скважины примерно в полтора раза.